sábado, 31 de mayo de 2008

La sucesión de Fibonacci

A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de África. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.

Leonardo de Pisa, “Fibonacci”, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el "Liber abaci", la primera summa matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número e instrucciones para resolver ecuaciones.

Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....
Es fácil ver en la “sucesión de Fibonacci” que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo: 1.618039....

Ejemplos de la “sucesión de Fibonacci” van a sorprender a todos los biólogos, porque las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. También aparece en las espirales que forman todas las piñas. Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

Pero en el cuerpo humano también se encuentra esta recurrencia: en la mano, la longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales y la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales. Esta misma relación existe entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, y en la relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

En la primera fotografía que ilustra esta entrada vemos una colcha con un diseño inspirado en la sucesión de Fibonacci, confeccionada por Laura (aquí puede verse con mayor tamaño y la autora explica didácticamente en este enlace cómo realizarla).

Las fotos de Flickr marcadas con la etiqueta fibonacci forman una colección heterogénea y curiosa: un girasol, un extraño espiral en un parque escocés, un caracol fósil, la Mole Antonelliana de Turín, sobre cuya cúpula un artista escribió los primeros números de Fibonacci en neón, otra obra luminosa del mismo artista, Mario Merz, en la Barceloneta (más información aquí), y sorprendentemente muchos trabajos de “ganchillo” y de punto.

También en la música hay presentes números Fibonacci, siendo el instrumento que mejor los refleja el piano. La subdivisión de un teclado se hace en octavas, compuestas cada una de ellas por ocho teclas blancas y cinco negras; las teclas negras se distribuyen a lo largo del teclado alternando en grupos de dos y tres. Un teclado completo se compone de once octavas, aunque puede tener una tecla más, es decir 89. El acorde y arpegio por excelencia que permiten identificar cualquier tonalidad, son los formados por las notas primeras, terceras, quinta y octava de la escala de dicha tonalidad.

9 comentarios:

Ignacio dijo...

La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Puedes visitar mi página sobre el número de oro en http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm

Mates dijo...

Recuerdo que mi profesor de matemáticas nos explicó un truco que llamaba juego de Fibonacci.

Consistía en pensar dos números y a partir de ellos construir una sucesión como la de Fibonaci, es decir, es decir, el tercer número tenía que ser la suma de los dos anteriores y así sucesivamente.

¿Qué pasaba luego? Pues que la suma de los diez primeros números de esa sucesión es once veces el valor del séptimo número, y así ocurre con la sucesión de Fibonacci y en cualquier otra que se construya de la misma manera.

Los diez primeros números de la sucesión de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 y 55.

La suma de los diez arroja 147, que es el resultado de 11 x 13 (13 es el séptimo en la sucesión).

¿No te parece sorprendente?

Anónimo dijo...

Yo estudié lo de la sucesión de Fibonaci en primero de carrera y el verano pasado viendo uno de los programas de ¿Eres más listo que un niño de primaria? vi que se lo preguntaban a uno de los concursantes. Curioso no?

Santi dijo...

Como apunta Mathilde, lo curioso es ver como una arbitrariedad humana cuadra a la perfección con la naturaleza ¿o no es una arbitrariedad? sea lo que sea, resulta curioso. Muchas personas a lo largo de la historia han utilizado su tiempo y lo mejor de su inteligencia tratando de descubrir la esencia de este enigma.

Vicente dijo...

Será muy curioso pero lo mío no son las matemáticas. Todo lo que no sea la cuadratura del círculo que, se llevan intentando desde Anaxágoras (en el año 500 antes de Jesucristo), no me interesa.

Basseta dijo...

Ni uno ni la otra han sido mi fuerte, pero me consta que el arte y la matemática han estado relacionados desde los inicios de la civilización humana y aparecen en todas las culturas. Es una relación profunda en donde se mezclan el sentido de la estética, la búsqueda de un ideal de perfección, la exploración del espacio tiempo y el reconocimiento de formas y patrones de repetición.

Buscando en la red ejemplos de relación entre el arte y las matemáticas he encontrado una página que habla de la espiral construida con regla y compás, basada en la sección áurea, que fue descubierta por Alberto Durero.

Resulta muy interesante comprobar que el famoso cuadro de Las Meninas de Velázquez está espacialmente concebido a partir de la “Espiral de Durero”.

Claudio dijo...

A mí, lo que me viene a decir todo esto es que se demuestra que, por una parte, una gran proporción de la Humanidad estamos tan inmersos en lo material y cotidiano, en nuestros problemas derivados de los sueños materialistas, que casi hemos perdido el sentido del asombro, la sensibilidad por la belleza y la aspiración a hacernos uno con ella.

De igual manera, constato que sigue habiendo gente con la suficiente sensibilidad como para darse cuenta de que todo está relacionado y que el nexo de unión está formulado en clave matemática, clave que se expresa de forma audiovisual a través de las artes plásticas y de la música.

Tanto es así que, sin necesidad de estudiar complicadas técnicas pictóricas ni musicales, los seres humanos vibramos de forma agradable ante manifestaciones, tanto visuales -en forma de pintura, escultura, arquitectura o formas biológicas naturales- como sonoras -a través de bellas composiciones musicales o poéticas.

Y es que nosotros formamos parte de este mundo, construido íntegramente bajo premisas que los más sensibles llegan a presentir.

Y los que lo llegan a comprender, se funden en él.

Son llamados Genios.

Vicent dijo...

La Matemàtica és una de les disciplines més importants per a tot estudiant, perquè és un idioma universal. Escric açò perquè és des de sempre una disciplina a què els estudiants troben un poc difícil i amb poca rellevància per a les seues vides diàries.
Vinc ací a defendre la senyoreta Matemàtica. Jo vaig ser també un estudiant, també vaig tindre dificultats amb ella, però vaig aprendre com voler la Matemàtica i considerar-la absolutament fonamental per al desenvolupament mental individual.
I quina és la raó per la que la Matemàtica és tan important, preguntaran? Des del meu punt de vista, el més important de la Matemàtica no és només la simple aritmètica del dia a dia, sinó el desenvolupament del raonament. Gran part de la Matemàtica es basa en lògica deductiva. Hem de ser capaços de plantejar un problema en passos lògics i resoldre cada pas usant tècniques i teoremes que moltes vegades són el resultat de segles d'aprenentatge.
Crec que el desenrotllament que genera el resoldre problemes matemàtics pot ser utilitzats en moltes altres áres del coneixement i de les nostres vides.

nachoben dijo...

A la luz del progreso, siempre, y antes de proseguir, recordar que el orgullo científico del siglo XVII estaba severamente amenazado.

¿Y qué podríamos decir, pues, de un hombre de cincuenta y siete años que dejó correr su vena con tiento para que su arte no acabase con su muerte?
Coordinó su armonía siguiendo las leyes de su espíritu; poniendo su conciencia al servicio del presente, y, a sabiendas, de su resonancia futura.

El autor de: Velázquez - La Kabala y Las Meninas.
P.S.- Hermosos comentarios en la ácida crítica del Arte.

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